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Geometrie


Geometrie der Flächen (zweidimensional)

Bei zweidimensionalen Objekten intressiert uns die Fläche F und der Umfang U.

Vierecke

Rechteck

Aufbaue eines Rechtecks: zwei lange Seiten a und zwei kurze Seiten b. Die Seiten stehen so im rechten Winkel aufeinander das eine Fläche gebildet wird.

Fläche eines Rechtecks
F = a * b
Umfang eines Rechtecks
U = a + a + b + b = 2 * (a + b)

Quadrat

Das Quadrat unterscheidet sich vom Rechteck dadurch das a und b die gleiche Länge haben.

Fläche eines Quadrates
F = a * a = a²
Umfang eines Quadrates
U = a + a + a + a = 4 * a

Dreiecke

Aufbau eines Dreiecks: drei Seiten a, b und c die einander an den Enden berühren. Dabei entstehen drei Ecken A, B, und C, drei Winkel α, β und γ sowie eine Höhe h.

Allgemeines Dreieck

Fläche eines Dreiecks
F = (g * h) / 2
Umfang eines Dreiecks
U = a + b + c

Rechtwinkliges Dreieck

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks
F = (a * b) / 2

Gleichschenkliges Dreieck

Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks
U = 2 * a + c

Gleichseitiges Dreieck

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks
U = 3 * a

Kreise

Aufbau eines Kreises: ein Radius r der um einen Punkt rotiert. Dabei entsteht der Durchmesser d (mit d = 2*r) und das Verhältnis von Durchmesser zu Umfang π.

Fläche des Kreises
F = π * r²
Umfang des Kreise
U = 2 * r * π

Kreisausschnitt

Der Kreisausschnitt wird durch zwei aus dem Mittelpunkt zur Außenseite verlaufende Geraden bestimmt, welche im Winkel α zueinander stehen.

Fläche des Kreisausschnitts
F = π * r² * α/360
Umfang des Kreisausschnitts
U = (π*r*α)/180 + 2*r

Kreissegment

Das Kreissegment wird durch zwei aus dem Mittelpunkt zur Außenseite verlaufende Geraden bestimmt, welche im Winkel α zueinander stehen. An ihrem Schnittpunkt mit der Außenkante bilden sie eine Linie welche das Kugelsegment schließt.

Fläche des Kreissegmentes
F = r²/2 (α*π/180 - sin(α*π/180)) 
Umfang des Kreissegmentes
U = r*(2 + Wurzel(2 - 2*cos(α*π/180)))

Geometrie der Körper (dreidimensional)

Bei dreidimensionalen Objekten intressiert uns das Volumen V und die Oberfläche O.

Quader

Aufbaue eines Quaders: vier lange Seiten a, vier kurze Seiten b und vier kurze Seiten c. Die Seiten stehen im rechten Winkel aufeinander.

Volumen eines Quaders
V = a * b * c
Oberfläche eines Quaders
O = 2 * ( a*b + a*c + b*c )

Würfel

Der Würfel unterscheidet sich vom Quader dadurch das a, b und c die gleiche Länge haben.

Volumen eines Würfels
V = a³
Oberfläche eines Würfels
O = 6 * a²

Pyramide

Aufbau einer Pyramide: ein Quadrat mit der Seitenlänge a und vier aneinander liegende Dreiecke. Die Höhe der Pyramide beträgt h.

Volumen einer Pyramide
V = (a² * h) / 3
Oberfläche einer Pyramide
O = a² + 4 * (a * Wurzel( h + a/2 ))/2

Zylinder

Aufbau eines Zylinders: zwei Kreise mit dem Radius r und dem Abstand h, verbunden durch einen Mantel.

Volumen eines Zylinders
V = π * r² * h
Oberfläche eines Zylinders
O = 2 * π * r * ( r + h )

Kugel

Aufbau einer Kugel: ein Kreis mit dem Radius r der um seinen Mittelpunkt rotiert.

Volumen einer Kugel
V = 4/3 * π * r³
Oberfläche einer Kugel
O = 4 * π * r²

Kugelausschnitt

Der Kugelausschnitt wird durch zwei aus dem Mittelpunkt zur Außenseite verlaufende Geraden bestimmt. An ihrem Schnittpunkt mit der Außenseite bildet sich ein Kreis mit dem Radius a und ein Kugelsegment mit der Höhe h.

Volumen des Kugelausschnitts
V = (2*π*r²*h)/3
Oberfläche des Kugelausschnitts
O = π*r*(a+2*h)

Kugelsegment

Das Kugelsegment wird durch eine Ebene gebildet die eine Kugel schneidet. An ihrem Schnittpunkt mit der Außenseite bildet sich ein Kreis mit dem Radius a und ein Kugelsegment mit der Höhe h.

Volumen des Kugelsegments
V = (h²*π)/3 * (3r-h) = (h*π)/6 * (3a²+h²)
Oberfläche
O = π*(2*r*h + a²) = π*(2a² + h²)
Mantelfläche
M = 2*π*r*h = π*(a² + h²)








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