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Zinsrechnung


Bei der Zinsrechnung handelt es sich im Grunde um einfache Prozentrechnung. Mit einer Ausnahme, dem Zinseszins. Der bringt einen zeitlichen Verlauf ins Spiel.

Zinsen

Zinsrechnung ist einfach. Dafür gibt es folgende Formel:

neuer Betrag = alter Betrag + (alter Betrag * Zinsen/100)

Bei einem Betrag von 100 Euro und 5% Zinsen ergibt sich:

neuer Betrag = 100 + (100 * 5/100) = 100 + (100 * 0,05) = 100 + 5 = 105 Euro

Verrinfacht lässt sich die Zinsformel auch so darstellen:

neuer Betrag = alter Betrag * (1+(Zinsen/100))

Bei einem Betrag von 100 Euro und 5% Zinsen ergibt sich:

neuer Betrag = alter Betrag * 1,05 = 105 Euro

Der Betrag erhöht sich um die Zinsen (in unserem Beispiel 5 Euro). Der neue Betrag ist also der alte Betrag plus Zinsen. Deswegen nehmen wir in der Formel den alten Betrag und multiplizieren ihn mit eins (also sich selbst) plus dem Zinssatz. Der Zinssatz erhöht den Faktor eins oder verringert ihn. Ein Zinssatz von 5% führt zu einem Faktor von 1,05. Ein Zinssatz von -5% führt zu einem Faktor von 0,95. Ein Zinssatz von 100% würde zu einem Faktor von 2,0 führen.

neuer Betrag = alter Betrag * (1+Zinsen/100) = alter Betrag * (1+100/100) = alter Betrag * (1+1) = alter Betrag * 2

Der interessanteste Teil der Formel ist also der Zinsfaktor (1+Zinsen/100). Durch das (Zinsen/100) sehen wir das jeder Zinssatz zwischen 1% und 99% immer zu einem Faktor von 1,01 bis 1,99 führt. Wir können uns für die Kopfrechnung merken das wir die Zinsen im Grunde nur als Nachkommastellen zum Faktor eins hinzuzählen oder abziehen müssen. Aus 45% werden 1,45 und aus -15% werden 0,85 und so weiter.

Zinseszinsen

Bei den Zinseszinsen wird es schwieriger. Hier gehen wir davon aus das ein Betrag mehrfach (über mehrere Zeiträume/Perioden, das können zum Beispiel Jahre aber auch Tage sein) mit Zinsen versehen wird. Wenn wir unser Beispiel von den Zinsen nehmen (100 Euro bei 5%) dann haben wir nach der ersten Berechnung 105 Euro (plus 5 Euro Zinsen). Wenn wir nun wieder 5% Zinsen bekommen haben wir aber keine 5 Euro Zinsen mehr, sondern 105 Euro * 1,05 = 110,25 Euro (5,25 Euro Zinsen). In der nächsten Periode sind es schon 110,25 Euro mal 1,05 = 115.76 Euro (5.51 Euro Zinsen).

So eine Berechnung kann man natürlich Stück für Stück vornehmen, bis man den gewünschten Zeitraum zusammen hat. Aber bei 30 oder mehr Perioden, wer will das schon machen? Richtig, geht auch einfacher.

Betrag = Grundbetrag * (1+Zinsen/100)^Perioden

Den größten Teil der Formel kennen wir schon. Bei den Zinsen haben wir gelernt das wir den alten Betrag multiplizieren mit dem Faktor eins, und das der Faktor eins sich um die Zinsen verändert. Der Teil mit (1+Zinsen/100) ist also bekannt.

Was wir verändern ist die Potenz. Wir potenzieren die Klammer um die Anzahl der Perioden. Dadurch wird der Teil in der Klammer so oft ausgeführt wie wir Perioden berechnen wollen.

Nehmen wir wieder das Beispiel mit 100 Euro, 5% und 3 Jahren

Betrag = 100 * (1+5/100)³ = 100 * (1,05)³ = 100 * 1,05 * 1,05 *1,05 = 105 * 1,05 * 1,05 = 110.25 * 1,05 = 115.76

Wer das alles mal ausprobieren möchte kann das unter Tools: Zinsen tun.









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